第 32 章 · 为什么分散投资有效

现实故事

Intuition · 两只股票，可能仍是一种押注

小林买了两只名字不同的股票，以为风险已减半。但两家公司依赖同一种原料、同一批客户和同一个融资环境。另一组资产虽然各自起伏明显，变化方向却没有那么一致。

上一章决定每项资产的用途，本章研究它们放在一起会发生什么。组合风险取决于共同变化，而不仅是每项资产单独有多大波动。以下全部收益、概率和相关性是教学假设，不代表市场预测。

一个冲突

把两个波动率都是 10% 的资产各买一半，组合波动率一定是 10% 吗？如果它们完全同步，答案可以是；如果它们经常错开，组合波动可能更低。

“不会同时下跌”是一种便于理解的极端情景，却不是分散有效的必要条件。两个资产即使有时同跌，只要共同变化没有完全一致，仍可能存在分散作用。反过来，历史上很少同跌，也不保证下一次压力时仍然如此。

你来决定

把两种情景放进同一个组合

设一年后只有两个等概率状态。资产 A 在状态一回报 +20%，状态二 −10%；资产 B 在状态一 −10%，状态二 +20%。初始各买 50，年内不交易、不收付外部资金，无费用和税。组合在两种状态下分别值多少？

这两行是互斥的未来状态，不是连续两年的收益。每个状态概率 50%，概率由题设给定，不能从表里反推它们是现实频率。

推演结果

A 与 B 各自的预期回报都是 5%，相对均值的偏差分别为 +15/−15 个百分点及 −15/+15 个百分点。用概率加权计算，各自方差为 0.0225，标准差为 15%；协方差为 −0.0225，相关系数为 −1。

等权组合在这个封闭模型中始终回报 5%，所以波动为零。它不是现实里找到了无风险高收益产品，而是两种资产被题目设定为完全反向变化。增加未列出的状态、违约或交易约束后，这个结论就可能失效。

建立金融模型

Model · 两项资产不需要矩阵

令 A 权重为 w、B 权重为 1−w，标准差为 σA、σB，相关系数为 ρ。组合方差为：

σp² = w²σA² + (1−w)²σB² + 2w(1−w)ρσAσB

组合标准差是方差的平方根。协方差等于 ρ×σA×σB，表示两个回报相对各自均值的偏差如何共同变化；相关系数把协方差标准化，范围为 −1 到 +1。若某资产波动为零，普通相关系数的分母为零，不能随意给它填一个估计值。

再设两资产波动率均为 10%、权重各半，只改变相关性：ρ=1 时组合波动为 10%；ρ=0 时约 7.07%；ρ=−1 时为零。可见不能把单项波动简单相加再除以二；缺失的正是共同变化项。

若两项波动分别为 20% 和 10%、相关性为零，等权波动为平方根(0.25×0.04+0.25×0.01)，约 11.18%。它低于单项波动的加权平均 15%，但仍高于较稳的 B 的 10%。所以“有分散收益”不等于“比每个单项都更安全”。

Professional · 均值—方差框架的边界

Modern Portfolio Theory 的均值—方差框架比较不同权重下的预期收益和方差。在给定输入与约束中，如果另一个组合能在同样风险下提供更高预期收益，或同样预期收益下承担更低风险，原组合就不是有效选择。有效前沿描述这种相对关系，不保证输入正确或未来表现最好。

真实协方差需要估计。收益应使用一致币种、日期、频率和包含分配的总回报；缺失价格、停牌及不常交易资产的平滑估值，可能让相关性看起来过低。用不同交易时区的收盘价也需要检查是否错位。

均值和相关性会随环境改变。一次短样本估计不是永久参数；很多资产会共享利率、经济增长或融资压力。分散可以削弱一些个别企业风险，却不能确保消除共同市场冲击。相关性为零也不等于独立，更不表示不会同跌。

方差还把上涨和下跌偏离均值都算作波动，未完整描述尾部损失、流动性、杠杆清算和目标未达成。实际判断应把压力情景、现金需求和持仓重叠与波动指标放在一起，不能让一个漂亮的最小方差解替代约束检查。

学习专业术语

连接真实市场案例

1990 年经济学奖官方说明介绍 Markowitz 的组合选择研究，强调组合方差不仅取决于单项方差，也取决于资产间的协方差。发布日期：1990-10-16；查阅日期：2026-09-24。

将这个问题用于真实基金时，可以比较两只基金的主要持仓和行业敞口，而不仅是名称。持有多个包装不同但底层相似的产品，未必分散了风险。本章没有选取真实基金回报或宣称测得当前市场相关性；课堂数字只用于隔离模型机制。

数据实验

可打开组合风险交互实验，调整五类资产权重并比较两组合成月收益下的波动与回撤。

输入：两资产标准差均为 10%、各占 50%，相关性分别为 1、0、−1。操作：将百分比改为小数，代入方差公式，再取平方根。输出：相关性—组合波动表。核验：结果依次 10%、约 7.0711%、0；直接平均波动无法区分这三行。

第二组输入使用最初两个等概率状态，先求各自均值，再求偏差乘积的概率加权。核验：协方差 −0.0225、相关性 −1，组合均值 5%、方差零。这里使用已知概率的总体量；若拿历史样本估计，应明确是否采用 n−1 的样本分母，不能混用口径。

最后把原状态表的 A 权重改为 80%、B 为 20%，算出两状态组合回报 +14% 和 −4%。预期仍为 5%，标准差升至 9%。完全负相关也需要合适权重才能抵消波动。

AI Lab

复算两资产的均值、协方差和组合方差。比较相同波动下三种相关性，以及 50/50 与 80/20 权重。说明零相关、负相关和独立的区别，不把历史估计写成未来保证。

你必须自己验证：来源是否包含真实总回报及持仓口径；时间是否对齐并覆盖相关市场状态；计算是否混用百分数和小数、方差和标准差；假设是否遗漏同跌情景、成本和流动性。不用 AI 时用两行情景表逐格计算偏差乘积，结果应与组合直接计算一致。

改变变量重新模拟

为原表加入第三种状态：A、B 都跌 30%，将原两种状态概率各改为 45%，新状态为 10%。等权组合变成 90% 概率赚 5%、10% 概率亏 30%；均值为 1.5%，标准差为 10.5%。原本的零波动消失，因为遗漏的共同风险进入了模型。

再让相关性从零升为 0.8，保持两资产波动均为 10%、各半，组合波动约为 9.49%。这是参数压力测试，不是对危机相关性的固定预测。解释哪些经济因素可能让两项资产同时承压，再决定是否需要新的数据和情景。

带走的问题

你的组合包含多少种真正不同的风险来源？如果相关性估计失效，你是否仍有足够现金和承受能力坚持原计划？

本章自测

1. 原两个等概率状态中，等权组合各赚多少？
2. 两资产各波动 10%、等权、零相关，组合波动多少？
3. 为什么不能仅按权重平均单项波动？
4. 相关性为零是否表示两资产不会同跌？
5. 原表改为 80/20 权重后，两状态回报与标准差是多少？
6. 加入 10% 概率共同跌 30% 后，等权组合预期回报是多少？

参考答案与解析

• 第 1 题：均为 5%，在封闭题设中波动为零。
• 第 2 题：约 7.07%，先算方差再开方。
• 第 3 题：它遗漏共同变化，组合方差包含协方差项。
• 第 4 题：不是，零线性相关不是独立或永不共跌。
• 第 5 题：+14% 和 −4%，均值 5%，标准差 9%。
• 第 6 题：1.5%，0.9×5%+0.1×(−30%)。

独立审计练习： AI-11 · 组合分析审计，含给定输入、错误示例和评分表。