第 2 章 · 复利为什么如此重要

现实故事

Intuition · 第二年的本金是谁

小林有 100 元，准备暂时不用。为了比较计息机制，他在纸上建立两个账户：甲每年把最初本金的 10% 记为收益，但这部分不再产生收益；乙每年把收益留在账户，下一年对整个余额计算 10%。这里没有实际产品，10% 只是教学假设，也不代表安全或可获得的回报。

第一年底，两本账都是 110 元。小林觉得区别不大。第二年底，甲的新增收益仍是 10 元，乙却获得 11 元。多出来的 1 元不是凭空创造的：第一年留下的 10 元也参加了第二年的增长。

一个冲突

如果只看第一年，两个方案完全相同。如果需要每年拿走收益支付生活费，乙的再投入假设又不成立。能否持续复利既取决于时间，也取决于收益有没有留下、再投资条件有没有变化。

因此，「每年回报一样」不等于「每年新增金额一样」。另一方面，指数曲线并不意味着现实可以无限稳定增长；经营约束、损失和现金提取都会改变路径。

你来决定

先记下你的预测

本金 100 元，期限 10 年，假设每年 10%。甲是单利，乙是复利。先不计算：哪个余额更大？你估计差额是 10 元、50 元还是超过 50 元？如果第二年急需花掉第一年的利息，比较会如何改变？

写下判断及原因。之后保留原答案，不要在看到结果后重写；本章作品包含预测和修正，而不只是一个正确数字。

推演结果

下表单位均为元，假设没有税、费用、追加投入或提款；内部计算保留精度，仅展示结果四舍五入。

年末	甲：单利总额	乙：复利总额	两者差额
0	100.00	100.00	0.00
1	110.00	110.00	0.00
2	120.00	121.00	1.00
5	150.00	161.05	11.05
10	200.00	259.37	59.37

复核第二年：乙的期初余额 110，收益 110 × 0.10 = 11，期末 121。甲只对原始 100 计息，十年共得到 100 利息，连同本金为 200。

差异不是「选中了一个更高的利率」，而是计算利息的基数变化。若每年把乙的利息拿走且不再投资，账户本金仍为 100；将累计取走的利息一并计入，才与甲形成同口径比较。

建立金融模型

Model · 从递推到指数

设本金为 P，每期利率为 r，期数为 n。单利总额为 P × (1 + n × r)。复利余额满足「本期末 = 上期末 × (1 + r)」，连续乘 n 次便得到 P × (1 + r)^n。

「^n」表示 n 次方，不是把利率乘 n。把 10% 输入公式时用 0.10；把 10 输入会变成 1,000%，含义完全不同。模型中的期可以是年或月，但利率必须与这一期一致。

估计翻倍年数时，可以用 72 ÷ 年利率百分数。例如每年 8%，粗估为 9 年；每年 10%，粗估为 7.2 年。这里分母写 8 或 10，不是 0.08 或 0.10。更精确的连续时间解为 ln(2) ÷ ln(1 + r)；10% 时约 7.27 年。如果只能在整年末记账，第一次达到两倍发生在第 8 年末。

Professional · 曲线背后的约束

72 法则只是正利率下的速算，零利率不会翻倍，负利率更不能套用这个正增长估计。计息频率、费用和税都会影响最终余额。写模型前应区分「名义年利率」与「有效年增长率」，不能把月度报价直接当成年增长率。

变化的年度收益必须逐期相乘。第一年上涨 50%，第二年下跌 50%，100 × 1.5 × 0.5 = 75。算术平均回报为 0%，本金却损失 25%；这说明平均百分数不能代替财富路径。反过来，下跌 50% 后需要上涨 100% 才能回本。

单笔初始资金在没有中间现金流时，固定的两期乘数交换顺序不改变终值。但若中途提款或追加投入，顺序会影响不同资金实际经历的回报。这是把简单复利推广到真实组合前必须补上的条件。

学习专业术语

术语	本章含义	常见误用
Simple Interest · 单利	只对原本金计息	以为每年利息必须增长
Compound Interest · 复利	本金与累计收益共同参与下期计息	把再投资假设当作保证
Exponentiation · 指数运算	同一增长因子连续相乘	把乘方误算为利率乘年数
Rule of 72 · 72 法则	正增长翻倍时间的近似估计	当作精确到期日
Reinvestment · 再投资	将收到的收益投入后续期间	默认未来仍有相同条件
Geometric Return · 几何回报	描述多期乘积对应的平均增长率	与算术平均混为一谈

连接真实市场案例

Investor.gov 的复利定义明确包含对累计利息的计息。新加坡 MoneySense 的复利说明也用逐年余额解释增长基数，并介绍 72 法则。来源查阅日期：2026-09-23；这些是机制说明，不是本章 10% 假设的市场依据。

一个实际条款案例是美国储蓄债券 I Bond。财政部的 EE/I Bond 对照表说明，它按月计息、每半年复利，且 I Bond 的利率可以每半年改变。查阅日期：2026-09-23。这与课堂的「固定年利率、每年复利」不是同一个模型；复算实际价值应使用对应发行期规则，不能把某一期报价连续乘三十年。

选择一种你能找到公开条款的存款或债券，记录计息期间、支付时间和收益去向。现金派息如果进入不计息账户，并不会自动以原产品收益率再投入。这里只要求分析合同机制，不要求开户或买入。若资料缺少复投规则，应把它标记为未知，不能补写成「默认复利」。

数据实验

复利实验 · 时间如何改变结果

金额支持 0–10 亿元，年利率 0–100%，年数为 0–100 的整数。输入 5 表示每年 5%，不是 500%。

金额（元）年利率（%）年数

复利终值: ¥26,532.98
单利终值: ¥20,000.00
复利比单利多: ¥6,532.98
未来同额资金的现值: ¥3,768.89

前三项将输入金额当作今天的本金；现值将同一金额当作第 20 年末收到的钱，按年利率折回今天，两者是不同方向的实验。

终值 = 本金 × (1 + 年利率) ^ 年数；单利终值 = 本金 × (1 + 年利率 × 年数)；现值 = 未来金额 ÷ (1 + 年利率) ^ 年数。模型使用固定非负年利率、每年计息，无追加投入；未计税费和通胀。参数仅用于教学，不代表收益预测。

输入：本金 10,000 元，组件同时展示 2%、5%、8%、12% 四档假设，依次把期限设为 10、20、30 年。操作：填写 12 个复利余额，并另算相同条件下的单利余额。输出：对照表、差额和一段对差异来源的解释。

核验：挑选本金 100、利率 10%、期限 2 年，逐年手算得到 121；利率改成零时，所有期限都应等于本金。再用计算器复核 10,000 × 1.05^10 ≈ 16,288.95。不要把单利差额和总收益混为一谈。

实验组件给出固定利率结果；变化收益的情景用纸笔做乘积。提交时记录输入、舍入方式，以及为什么固定 12% 长期曲线不构成任何现实收益承诺。

AI Lab

用 100 元本金比较 10% 单利与复利，列出第 1、2、5、10 年余额。解释 72 法则为什么是近似值。再审计「先涨 50% 后跌 50%，因此两年不赚不亏」这句话。区分数学结果、模型假设和市场事实，不推荐产品。

你必须自己验证：来源是否确实支持复利定义；时间单位是否一致；计算是否逐期相乘；假设是否包含不提款、固定利率与没有费用。让 AI 标记无法从资料确认的复投规则。即使 AI 引用正确，也要自己核对第二年 121 和涨跌后 75 两个结果。

无需 AI 账户也能完成：把上段「两年不赚不亏」当作待审计回答，指出错在将算术平均替代复合增长，并写出修订版本。

本金 100 元、年利率 10%，两年单利和复利分别是多少？
复利第二年的收益为何是 11 而不是 10？
用 72 法则估计 8% 的翻倍时间，应把分母写成多少？
先涨 50% 后跌 50%，100 元剩多少？
每年把利息全部拿走，能否继续把账户余额按原利率复利增长？
10% 的精确翻倍时间约为 7.27 年，整年末记账时第一次达到两倍是哪一年？

查看参考答案与解析

第 1 题：120 与 121。单利只对 100 计息；复利第二期对 110 计息。
第 2 题：110 × 10% = 11，上一期利息成为下一期基数的一部分。
第 3 题：写 8，得到约 9 年。它是百分数口径的近似速算。
第 4 题：75 元。上涨和下跌作用于不同基数，不能直接相加抵消。
第 5 题：不能。提款移走后续增长基数；比较总财富还要计入已取现金。
第 6 题：第 8 年末；7.27 是按指数公式得到的时间解，不代表合同在该日付息。

独立审计练习： AI-01 · 时间价值审计，含给定输入、错误示例和评分表。